Kształcił się m.in. w seminariach w Jerozolimie i w Libanie oraz na Papieskim Uniwersytecie Laterańskim w Rzymie. Święcenia kapłańskie przyjął 17 października 1954, po czym w latach 1960-64 kontynuował studia w Rzymie. W latach 1965-70 był sekretarzem patriarchy syryjskiego, jak również obrońcą węzła małżeńskiego w sądzie patriarszym w Bejrucie.

2 lipca 1977 Syryjski Katolicki Synod Patriarszy w Charfet w Libanie wybrał go na biskupa Kairu dla syryjczyków, a decyzję tę zatwierdził Paweł VI w 20 dni później. Sakrę przyjął 18 września tegoż roku z rąk ówczesnego patriarchy syryjskiego Ignace'a Antoine II Hayeka, obierając imię Basile Moussa (Bazyli Mojżesz) Daoud. 1 lipca 1994 kolejny Synod Patriarszy powołał go na jego rodzimą archieparchię Homs, Hama i Nabk, a Jan Paweł II potwierdził to 6 tegoż miesiąca. 13 października 1998 Synod wybrał go na patriarchę antiocheńskiego syryjczyków, a decyzję tę potwierdził Papież, udzielając tzw. "communio ecclesiastica" w tydzień później.

Ojciec Święty powołał go 25 listopada 2000 r. na prefekta Kongregacji Kościołów Wschodnich i wielkiego kanclerza Papieskiego Instytutu Wschodniego. Patriarcha ustąpił formalnie z urzędu głowy katolickiego Kościoła syryjskiego 8 stycznia 2001, ale zachował, za zgodą Papieża, honorowy tytuł patriarchy. Na konsystorzu 21 lutego 2001 otrzymał insygnia kardynalskie.

Kardynał-patriarcha jest specjalistą w zakresie wschodniego prawa kanonicznego i świetnym organizatorem. W czasie swego biskupiego posługiwania w Kairze potrafił zbudować w niezbyt przychylnym chrześcijanom środowisku muzułmańskim, katedrę pw. Matki Bożej Różańcowej; podjął też szereg dzieł socjalnych na rzecz kairskiej kliniki Sittina Mariam.

Powołanie go na stanowisko prefekta kongregacji watykańskiej oznaczało przełamanie pewnych dawnych zwyczajów: po raz pierwszy na czele tego urzędu zajmującego się wschodnimi wspólnotami katolickimi stanął duchowny pochodzący z jednej z nich. Dotyczy to 20 Kościołów, liczących łącznie prawie 18 mln wiernych.

Według komentatorów decyzja Papieża świadczyła o jego pragnieniu większego uwidocznienia Kościołów wschodnich pozostających w łączności z Rzymem w Kościele powszechnym. Ojciec Święty chciał również ukazać powołanie tegoż Kościoła do oddychania "dwoma płucami", czyli opierania się na tradycji wschodniej i zachodniej, co wielokrotnie podkreślał w swych przemówieniach.

Kardynał-patriarcha Daoud przyczynił się walnie do odbycia historycznej podróży Jana Pawła II do Syrii w maju 2001, podczas której Ojciec Święty jako pierwszy papież w dziejach odwiedził meczet. Ale jednocześnie musiał też znieść upokorzenie ze strony prawosławnego Kościoła Hellady, który nie zgodził się, aby patriarcha "unicki" towarzyszył Papieżowi w poprzedzającej wizytę w Syrii równie historycznej podróży do Grecji.